Die Finite Elemente Methode – Bauteile in ihre Elemente zerlegen und berechnen

Was ist die Finite Elemente Methode?

Bei der FEM handelt es sich um ein numerisches Verfahren, das ermöglicht, Aufgaben im Bereich der Architektur, Naturwissenschaft und Technik zu lösen, ohne exakte Richtlinien zu benötigen. Das ist immer dann notwendig, wenn komplizierte geometrische Eigenschaften berechnet werden müssen. Das kann der Fall sein, wenn du in der Wohnung bestimmte Durchbrüche oder Deckenplatten planst oder wenn die statischen Randbedingungen, darunter das Tragwerk, zu kompliziert ausfallen. Sinnvoll ist die Finite Elemente Methode dann, um kinematische Bedingungen dennoch in die Planung mit einbeziehen zu können. Durchgeführt werden durch die FEM auch Untersuchungen, die eine Festigkeit oder Verformung von Objekten und Festkörpern betreffen, wenn deren Geometrie zu komplex ausfällt. Bei der FEM werden einzelne Teilgebiete vereinfacht und aufgeteilt. Du nimmst dir entsprechend keinen Würfel vor, sondern teilst ihn in viele kleine Quader. Diese sind die Elemente der Methode, die als „finit“ bezeichnet werden. Dies ermöglicht die Verwendung bekannter Ansatzfunktionen für die Berechnungen und Modellierungen bei zahlreichen Formen und Strukturen. Dabei kannst du nachvollziehen, wie ein Gesamtkörper auf bestimmte Einflüsse oder Lasten reagiert. Die Parameter der Ansatzfunktionen hängen eng mit der Physik zusammen, wenn sich etwa in einem Bauteil ein bestimmter Punkt zu einem bestimmten Zeitpunkt verschiebt. Die Bewegung lässt sich durch die Elemente und Parameter in der Präzision verbessern und konstruktive Änderungen genauer nachvollziehen.

Wie wird die Finite Elemente Methode angewendet?

Die FEM ist eine sehr komplizierte Berechnungsmöglichkeit und erfolgt in mehreren Etappen, die nur an einem PC mit hoher Rechenleistung möglich ist. Die Finite Elemente Methode für Statik und Bauteile ist daher bereits von vorneherein für die Arbeit am Computer konzipiert. Das erlaubt eine Berechnung für ganz verschiedene Disziplinen in Physik und Architektur, ebenso wie konstruktive Änderungen oder eine genauere Strukturanalyse. Das Verfahren ermöglicht Erkenntnisse in der Elastizitätstheorie mit der Berücksichtigung von Verzerrungen und Verschiebungen, aller einwirkenden Kräfte und Formfunktionen. Die Grundlagen für die Anwendung lernst du als Architekt auch für die Modellierung.

Wie werden Bauteile mit der Finite Elemente Methode aufgeteilt?

Um die FEM anzuwenden, wird das jeweilige Bauteil in eine Vielfalt kleinerer Elemente unterteilt. Obwohl diese endlich klein, also finit sind, bleibt ihre tatsächliche Grösse mathematisch relevant, wodurch dann die angestrebte Näherungslösung möglich wird. Die Aufteilung des Bauteils in Elemente und daraus sich ergebende Parameter für die Berechnung erfordert das Hinzuziehen bestimmter Ansatzfunktionen. Diese zielen auf die äusseren Einflüsse und Randbedingungen, denen das Bauteil ausgesetzt ist.

Wie können konstruktive Änderungen architektonisch gelöst werden?

Die FEM ist auch Teil bei CAD-Programmen, die Architekten verwenden. Sie erlauben die Konstruktion und Gestaltung von Bauteilen und die reale Betrachtung der Modelle im 3D-Format. Hier wird das neutrale Austauschformat in einen FE-Präprozessor übertragen, um die 3D-Sicht zu erzeugen. Die Finite Elemente Methode unterstützt den Prozess für alle Vernetzungsalgorithmen, die verwendet werden, und bestimmt die Elementgrösse und Elementeart im Modul. Auch die Analyse der Festigkeit von Objekten und das Materialverhalten wird über die FEM abgeschlossen. So erlaubt die Methode, konstruktive Änderungen durchzuführen.

Auf welcher Idee baut die FEM auf?

Die ersten Lösungswege mit der Finite Elemente Methode wurden erstmals 1943 von Richard Courant durchgeführt. Er konnte nachweisen, dass die Methode zuverlässig ist und einwandfreie Ergebnisse lieferte. Nur war zu dieser Zeit natürlich noch nicht absehbar, dass sich die Methode auch am PC umsetzen und vereinfachen lässt. Tatsächlich ist der Ansatz eher intuitiv entstanden, fand dann aber schnell weitere Anwendungsbereiche. Er wurde dann Hauptbestandteil vieler Berechnungen, als sich nachweislich die Richtigkeit des Verfahrens bestätigen konnte. Die FEM basiert auf der Idee, das alle Bauteile und Gebilde, die berechnet werden müssen, in eine grosse Anzahl einfacher Elemente zerlegt werden können, wobei auch Gleichgewichts- und Kontinuitätsbedingungen mit einbezogen werden, um ein Gesamtsystem zu konstruieren. Bei CAD-Programmen ist die FEM ein wichtiger Berechnungsteil für die Darstellung und Konstruktion der Modelle und Zeichnungen. Dabei ist sie auch ein diskretes Verfahren, wobei die Berechnung auf einer diskreten Untermenge des Grundgebiets aufbaut und in einfachere Teilgebiete zerlegt wird. Das nennt sich Vernetzung oder Vermeshen. Dabei steht die Berechnung der Elemente der analytischen Betrachtung gegenüber. Bei einigen Aufgaben bildet nicht nur ein Gesamtobjekt den Ausgangspunkt, sondern die Elemente sind bereits unterteilt. Damit ist das Problem vorgegeben und kann dann gelöst und in der Konstruktion einfacher abgebildet werden. Planst du als Architekt beispielsweise ein Fachwerkhaus, kannst du so die Rahmenkonstruktion der einzelnen Balken, der Balkenstücke und anderer Details genau differenzieren und berechnen.

Was hat die Finite Elemente Methode mit der Thermodynamik zu tun?

Mittlerweile ist die Finite Elemente Methode vielseitig im Einsatz und wird am PC berechnet, der die Rechenleistung erbringt und zügig Ergebnisse liefert. Das Verfahren ist auch dazu da, technische und naturwissenschaftliche Probleme numerisch mit Hilfe des PCs zu erschliessen und auf diesem Weg zu lösen. Die FEM erweist sich besonders hilfreich bei der Thermodynamik, für die Berechnung von dynamischen Problemen oder Magnetfeldern, für Festigkeitsuntersuchungen und für die Strömungsmechanik. Sogar für die Gezeitentheorie und die Wettervorhersage wird die Finite Elemente Methode herangezogen und liefert zuverlässige Ergebnisse.

Warum spielt die FEM für die Festkörpermechanik eine Rolle?

Die erste Anwendung für Lösungsansätze war die lineare Behandlung von Strukturen und Festkörpern durch die Verschiebungsmethode. Anhand dieser war es möglich, die Finite Elemente Methode zu entwickeln, auch wenn diese erst später benutzt wurde. Sie hat sich im Laufe der Zeit verallgemeinert und findet auch in verschiedenen Bereichen Anwendung, besonders bei Problemstellungen in der Physik und Geometrie, aber auch bei technischen Fragestellungen in Architektur und Medizintechnik, im Maschinenbau oder in der Luft- und Raumfahrtechnik. Sogar naturwissenschaftliche Ansätze können mit der FEM gelöst werden. Im Bereich der Produktentwicklung spielt die Festkörpermechanik eine wichtige Rolle, wobei mechanische Festigkeitsberechnungen angestellt werden müssen, die sich auf einzelne Bauteile und Komponenten beziehen. Du kannst dir das ähnlich wie beim Crashtest vorstellen. Ein Fahrzeug muss diesen nicht durchlaufen, sondern kann in seiner Struktur und in seinem Verhalten genau am PC berechnet werden.